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Document type: Dissertação
Access type: Acesso Aberto
Title: Curvas elípticas e o caso n = 4 da conjectura de Euler
Alternate title (s): Elliptic curves and the n = 4 case of Euler s conjecture
Author: Oliveira, Nathália Moraes de
First Advisor: Neumann, Victor Gonzalo Lopez
First member of the Committee: Borges Filho, Herivelto Martins
Second member of the Committee: Carvalho, Cícero Fernandes de
Summary: Do último teorema de Fermat sabemos que a equação X3+Y 3 = Z3 não possui soluções inteiras não triviais. Euler conjecturou em 1769 que este resultado pode ser generalizado aumentando a potência e o número de variáveis. Neste trabalho damos um contra-exemplo para a conjectura de Euler no caso n = 4 mostrando que a equação A4+B4+C4 = D4 possui soluções inteiras não triviais. Para tal estudamos curvas algébricas planas, curvas elípticas e usamos resultados da teoria dos números, em especial sobre a reciprocidade quadrática. A reciprocidade quadrática é peça chave na escolha de uma curva elíptica particular, de tal forma que uma solução nesta curva elíptica, se torna uma solução não trivial da equação de Euler para n = 4. Por fim, a aritmética da curva elíptica nos permite encontrar infinitas soluções inteiras para A4 + B4 + C4 = D4.
Abstract: From Fermat s last theorem we know that the equation X3 +Y 3 = Z3 does not have nontrivial integral solutions. In 1769 Euler conjectured that this result may be generalized increasing the powers and the number of variables. In this work we give a counterexample to Euler s conjecture in the case of n = 4 showing that the equation A4 + B4 + C4 = D4 has nontrivial integral solutions. To do that we study plane algebraic curves, elliptic curves and use results from number theory, especially those on quadratic reciprocity. The quadratic reciprocity is the key factor in the choice of a particular elliptic curve, such that a solution in that elliptic curve becomes a nontrivial solution of the Euler s equation with n = 4. Finally, the arithmetic of the elliptic curves allows us to find infinite integral solutions for A4 + B4 + C4 = D4.
Keywords: Números de Euler
Conjectura de Euler
Curvas elípticas
Reciprocidade quadrática
Euler s conjecture
Elliptic curves
Quadratic reciprocity
Area (s) of CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
Language: por
Country: BR
Publisher: Universidade Federal de Uberlândia
Institution Acronym: UFU
Department: Ciências Exatas e da Terra
Program: Programa de Pós-graduação em Matemática
Quote: OLIVEIRA, Nathália Moraes de. Elliptic curves and the n = 4 case of Euler s conjecture. 2014. 75 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2014.
URI: https://repositorio.ufu.br/handle/123456789/16807
Date of defense: 21-Feb-2014
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