Publicação: Matrizes circulantes aleatórias.
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::FISICA, CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
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Resumo
A Teoria de Matrizes Aleatórias (RMT) é uma importante teoria conhecida através
dos trabalhos de Wigner em 1955 que resolveu inúmeros problemas de diversas áreas da
ciência. Um problema bastante conhecido é o de integrais matriciais. Brezin et al (1)
foram os primeiros a notar a relação entre integrais matriciais e enumeração de mapas.
Foi descoberto que integrais no espaço de matrizes hermitianas com distribuição gaussiana
do produto de 2k elementos de matriz pode ser calculada fazendo uma soma sobre os
mapas de genus g e k arestas. Discutimos também o espectro de matrizes circulantes
estocásticas aleatórias. Verificou-se que o espectro das matrizes circulantes de Hankel segue
uma distribuição de Rayleigh, enquanto o de matrizes circulantes de Toeplitz é o conjunto
de todas as combinações convexas das raízes da unidade. O segundo maior autovalor tem distribuição de Tracy-Widom para as matrizes de Hankel e uma distribuição de
Gumbel para as matrizes de Toeplitz. A repulsão dos autovalores das matrizes de Hankel
tem a mesma distribuição de matrizes com entradas independentes. O produto entre as
matrizes circulantes tem uma álgebra interessante: o produto de matrizes de Hankel é uma
matriz de Toeplitz, mas o produto de matrizes de Toeplitz permanece sendo uma matriz
de Toepltiz. À medida que multiplicamos mais matrizes, as combinações das matrizes de
permutação deixam de ser convexas.
Abstract
The Random Matrix Theory (RMT) is a very important theory known by Wigner’s
works in 1955 that solved several numerous problems of many areas of science. A wellknown
problem is that of matrix integrals. Brezin et al (1) were the first to note the relation
between matrix integrals and map enumeration. It has been found that integrals on gaussian
hermitian ensemble of the 2k matrix elements product can be calculated by summing the
genus g maps with k edges. We discuss about the sprectrum of stochastic circulant random
matrices. It was verified that the spectrum of circulant Hankel matrices has Rayleigh
distribution, while circulant Toeplitz matrices is the set of all convex combinations of
the roots of the unit. The second largest eigenvalue has Tracy-Widom distribution
for Hankel matrices and a Gumbel distribution for Toeplitz matrices. The repulsion of
eigenvalues of Hankel matrices has the same distribution of matrices with independent
entries. The product between circulant matrices has an interesting algebra: the Hankel
matrices product is a Toeplitz matrix, but the Toeplitz matrix product remains a Toeplitz
matrix. As we multiply more matrices, the combinations of the permutation matrices are
no longer convex.
Palavras-chave
Teoria De Matrizes Aleatórias, Integrais Matriciais, Enumeração De Mapas, Matrizes Circulantes, Random Matrix Theory, Matrix Integrals, Map Enumeration, Circulant Matrices
Citação
BENTO, Pedro Henrique Santos. Matrizes Circulantes Aleatórias. 2018. 47 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física de Materiais) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2018.