Publicação: Curvas elípticas e o caso n = 4 da conjectura de Euler
Carregando...
Arquivos
Tipo do documento
Data
Direito de acesso
Coleções
Área do conhecimento
CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
Título da Revista
ISSN da Revista
Título de Volume
Autores
Orientador
Coorientador
Resumo
Do último teorema de Fermat sabemos que a equação X3+Y 3 = Z3 não possui soluções inteiras não triviais. Euler conjecturou em 1769 que este resultado pode ser generalizado aumentando a potência e o número de variáveis. Neste trabalho damos um contra-exemplo para a conjectura de Euler no caso n = 4 mostrando que a equação A4+B4+C4 = D4 possui soluções inteiras não
triviais. Para tal estudamos curvas algébricas planas, curvas elípticas e usamos resultados da teoria dos números, em especial sobre a reciprocidade quadrática. A reciprocidade quadrática é peça chave na escolha de uma curva elíptica particular, de tal forma que uma solução nesta curva
elíptica, se torna uma solução não trivial da equação de Euler para n = 4. Por fim, a aritmética da curva elíptica nos permite encontrar infinitas soluções inteiras para A4 + B4 + C4 = D4.
Abstract
From Fermat s last theorem we know that the equation X3 +Y 3 = Z3 does not have nontrivial
integral solutions. In 1769 Euler conjectured that this result may be generalized increasing
the powers and the number of variables. In this work we give a counterexample to Euler s
conjecture in the case of n = 4 showing that the equation A4 + B4 + C4 = D4 has nontrivial
integral solutions. To do that we study plane algebraic curves, elliptic curves and use results
from number theory, especially those on quadratic reciprocity. The quadratic reciprocity is the
key factor in the choice of a particular elliptic curve, such that a solution in that elliptic curve
becomes a nontrivial solution of the Euler s equation with n = 4. Finally, the arithmetic of the
elliptic curves allows us to find infinite integral solutions for A4 + B4 + C4 = D4.
Palavras-chave
Números de Euler, Conjectura de Euler, Curvas elípticas, Reciprocidade quadrática, Euler s conjecture, Elliptic curves, Quadratic reciprocity
Citação
OLIVEIRA, Nathália Moraes de. Elliptic curves and the n = 4 case of Euler s conjecture. 2014. 75 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2014. DOI https://doi.org/10.14393/ufu.di.2014.88