Publicação: Semigrupos numéricos e equações diofantinas: uma relação entre elementos gerados e quantidade de soluções
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA
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Esse trabalho apresenta uma introdução à Teoria de Números a partir de Equações Diofantinas e, posteriormente, ao estudo de Semigrupos Numéricos associados à essas equações.
Inicialmente, desenvolvemos resultados fundamentais sobre equações diofantinas e semigrupos numéricos, permitindo a caracterização de alguns Semigrupos Numéricos, em particular, com dimensão de imersão máxima, com a propriedade Arf, saturados e irredutíveis. Esses resultados podem ser importantes em uma tentativa futura de solucionar o problema de encontrar o número de Frobenius para semigrupos gerados por três elementos e, em especial, formalizar um princípio de contagem para a quantidade de soluções de equações com três variáveis. Ademais, será desenvolvido um resultado autoral que conta a quantidade de soluções de uma equação com duas variáveis, o qual será comparado com outros resultados já conhecidos e sugere-se sua extensão para três variáveis, otimizando algoritmos existentes em casos particulares.
Abstract
This work presents an introduction to Number Theory from the perspective of Diophantine Equations and, subsequently, to the study of Numerical Semigroups associated with these equations. Initially, we develop fundamental results on Diophantine equations and numerical semigroups, allowing the characterization of some Numerical Semigroups, in particular, those with maximal embedding dimension, with the Arf property, saturated, and irreducible. These results may be relevant in a future attempt to solve the problem of finding the Frobenius number for semigroups generated by three elements and, in particular, to formalize a counting principle for the number of solutions of equations with three variables. Furthermore, an original result will be developed that counts the number of solutions of an equation with two variables, which will be compared with other known results, and its extension to three variables is suggested, optimizing existing algorithms in particular cases.
Palavras-chave
Equações Diofantinas Lineares, Linear Diophantine Equations, Semigrupos Numéricos, Numerical Semigroups, Caracterização de Semigrupos, Characterization of Semigroups, Numéro de Frobenius, Frobenius Number, Contagem de Soluções, Counting Solutions
Citação
CARNEIRO, Rodrigo. Semigrupos numéricos e equações diofantinas: uma relação entre elementos gerados e quantidade de soluções. 2025. 47 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2025.
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