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Document type: Dissertação
Access type: Acesso Aberto
Title: Pontos racionais em curvas elípticas
Alternate title (s): Rational points on elliptic curves
Author: Souza, Adenilce Oliveira
First Advisor: Neumann, Victor Gonzalo Lopez
First member of the Committee: Orihuela, Fernando Eduardo Torres
Second member of the Committee: Carvalho, Cícero Fernandes de
Summary: Nesta dissertação estudamos as Curvas Elípticas. Inicialmente descrevemos uma operação sobre a curva que torna o conjunto de pontos de uma Curva Elíptica, sobre um corpo qualquer, um grupo abeliano. Apresentamos o Teorema de Nagell-Lutz o qual mostra as condições necessárias para que um ponto racional sobre a curva tenha ordem nita no grupo. A seguir provamos o Teorema de Mordell para curvas denidas por y2 = x3 + ax2 + bx. Este teorema diz que o conjunto de pontos racionais de uma Curva Elíptica e um grupo abeliano nitamente gerado. Na demonstração deste resultado, construímos um algoritmo que, em alguns casos, permite calcular o posto deste grupo. Utilizamos este algoritmo e o Teorema de Nagell-Lutz para estudar o grupo de Mordell-Weil de Curvas Elípticas da forma y2 = x3 - px, onde p e um número primo.
Abstract: We study Elliptic Curves. Initially we describe an operation on the curve which makes the set of points of an elliptic curve, over any eld, an abelian group. We introduce the Nagell-Lutz theorem which shows the necessary conditions for a rational point to have nite order. Next, we prove Mordell\'s theorem for curves dened by y2 = x3 + ax2 + bx. This theorem says that the set of rational points on an elliptic curve is a nitely generated abelian group. On the proof of this result, an algorithm is constructed. With this algorithm, it is possible, in some cases, to calculate the rank of the elliptic curve. We use this algorithm and the Nagell-Lutz theorem to study the Mordell-Weil Group of Elliptic Curves of the form y2 = x3 - px, where p is a prime number.
Keywords: Curvas Elípticas
Teorema de Mordell
Grupo de Mordell-Weil
Elliptic curves
Mordell theorem
Mordell-Weil Group
Area (s) of CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
Language: por
Country: BR
Publisher: Universidade Federal de Uberlândia
Institution Acronym: UFU
Department: Ciências Exatas e da Terra
Program: Programa de Pós-graduação em Matemática
Quote: SOUZA, Adenilce Oliveira. Rational points on elliptic curves. 2012. 62 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2012.
URI: https://repositorio.ufu.br/handle/123456789/16797
Date of defense: 20-Apr-2012
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