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metadata.dc.type: Dissertação
metadata.dc.rights: Acesso Aberto
Title: Controle ótimo de sistemas algébrico-diferenciais com flutuação do índice diferencial
metadata.dc.creator: Pfeifer, Adriene Artiaga
metadata.dc.contributor.advisor1: Murata, Valeria Viana
metadata.dc.contributor.referee1: Assis, Adilson José de
metadata.dc.contributor.referee2: Odloak, Darci
metadata.dc.contributor.referee3: Lopes, Luís Cláudio Oliveira
metadata.dc.description.resumo: Os Problemas de Controle Ótimo, também chamados Problemas de Otimização Dinâmica, são formados por uma Função Objetivo a ser maximizada ou minimizada, associada a conjuntos de equações algébricas e diferenciais que incluem restrições de igualdade e de desigualdade nas variáveis de estado e de controle que caracterizam um sistema de Equações Algébrico-Diferenciais (EADs). A extensão do ponto de vista algébricodiferencial de solução numérica aos PCOs, já amplamente utilizado na simulação de processos devido à garantia de atendimento às restrições algébricas originais e implícitas na formulação e à eliminação das manipulações necessárias para transformar o problema original num sistema de equações puramente diferenciais, caracteriza o chamado Problema de Controle Ótimo Algébrico-Diferencial (PCOAD). Uma categoria de PCOAD de especial interesse é a dos que incluem restrições de desigualdade, devido à necessidade de conhecimento prévio da seqüência de ativações e desativações destas restrições ao longo da trajetória e também dos instantes em que elas ocorrem, chamados Eventos. As ativações/desativações das restrições causam flutuações no índice diferencial e no número de graus de liberdade dinâmicos do PCOAD, exigindo técnicas especiais de redução deste índice até um e o emprego de métodos numéricos eficientes que garantam a convergência e estabilidade da solução. Estes PCOADs com restrições de desigualdade são equivalentes a uma classe de problemas de otimização dinâmica híbridos, que associam comportamentos contínuos e discretos (FEEHERY, 1998). Um tipo particular de PCO híbrido é aquele cujo estado contínuo não apresenta saltos nos Eventos, chamado PCO Chaveado, para o qual Xu e Antsaklis (2004) propõem uma metodologia de solução baseada na parametrização dos Eventos com a especificação prévia da seqüência de subsistemas ativos, resultando na solução de um problema de valor no contorno algébrico-diferencial em dois pontos, formado pelas equações de estado, co-estado e de estacionariedade, condições de contorno e de continuidade e suas diferenciações, chamadas equações de sensibilidade. Neste trabalho, esta abordagem indireta empregada para PCO Chaveados foi estendida para PCOAD com restrições de desigualdade, com o objetivo de estimar também os Eventos, além das variáveis de controle, de estado e adjuntas. A abordagem desenvolvida por Xu e Antsaklis (2004) para PCO Chaveados foi implementada num código específico utilizando o Maple 9.5, chamado EVENTS, com o objetivo de gerar simbolicamente as equações baseadas na parametrização dos Eventos. Este código foi incorporado a uma interface chamada OpCol, que reúne ferramentas de caracterização de sistemas de EAD e de geração das condições de otimalidade segundo o Princípio de Pontryagin estendidas para PCOAD de diferentes classes. As ferramentas de caracterização são o INDEX de Murata (1996) que identifica simbolicamente o índice, a resolubilidade e a consistência das condições iniciais e o ACIG de Cunha e Murata (1999) que implementa o algoritmo de Gear para a redução do índice e geração do sistema equivalente de índice 1. O OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) gera as equações de Euler-Lagrange para PCOAD. Estas ferramentas foram inicialmente implementadas em diferentes versões do Maple e todas foram atualizadas para a versão 9.5 utilizando o pacote Maplets que permite a entrada de dados através de janelas interativas com o usuário, exigindo dele pouco conhecimento da sintaxe Maple. A interface OpCol foi testada para quatro casos e para cada ferramenta foi criado um banco de exemplos com problemas típicos da literatura que auxiliam o usuário na sua utilização. Além disto, o método direto implementado no código DIRCOL estendido para formulações multifásicas com estimativa dos Eventos e o método indireto com Parametrização dos Eventos e abordagem algébrico-diferencial implementado num código MATLAB foram utilizados na solução numérica de três estudos de casos: um PCO chaveado e 2 PCOAD de reatores batelada onde a variável de controle é a taxa de alimentação do componente B: o primeiro tem reações paralelas e restrições de seletividade com 3 fases de índices 1, 3 e 1 e o segundo restrições de segurança com 2 fases de índices 2 e 1 e respectivamente e foram descritos por Srinivasan et al. (2003). A mesma metodologia utilizada por estes autores foi empregada na obtenção de expressões analíticas para a variável de controle em cada fase necessárias no método indireto, compondo as chamadas Funções Identificadoras de Fase (FIF), a partir das condições de otimalidade baseadas no Princípio de Pontryagin - especificamente a partir da condição de estacionariedade e da identificação da restrição ativa que permitirá a determinação da variável de controle - e da análise física do problema de modo a descartar seqüências de ativação/desativação não apropriadas. Os resultados obtidos pelo método indireto e pelo método direto são comparados entre si para os 3 problemas citados, mostrando a viabilidade tanto da formulação multifásica empregando o DIRCOL quanto o desempenho satisfatório do método indireto com estimativa de Eventos, além da utilidade das ferramentas de caracterização de EADs, de obtenção das condições de otimalidade e de parametrização dos eventos disponibilizadas na interface Opcol.
Abstract: Optimal Control Problems (OCP), also known as Dynamic Optimization Problems, consist of an Objective Function to be maximized or minimized, associated with a set of differential and algebraic equations which include equality and inequality constraints in the state or control variables and characterize a system of Differential-Algebraic Equations (DAE). The differential-algebraic approach of numerical solution widely used in process simulation due the guarantee of attendance of the implicit algebraic constraints in the original formulation and the elimination of the necessary manipulations to transform the original problem into a purely differential system,was extended to OCP characterizing the called Differential-Algebraic Optimal Control Problem (DAOCP). A category of DAOCP of special interest includes inequality constraints, due the necessity of previous knowledge of the activations and deactivations sequence of these constraints along the trajectory and also of the instants where they occur, named Events. This DAOCPs with inequality constraints is equivalent to a class of hybrid dynamic optimization problems, where continuous and discrete behaviors are associated (FEEHERY, 1998). A particular type of hybrid OCP is that one where continuous state does not present jumps in the Events, called Switched OCP, for which Xu e Antsaklis (2004) considers a solution methodology based on the parameterization of Events with a previous specification of active subsystems sequence, resulting in the solution of a two-point boundary value differential-algebraic problem, formed by the state, co-state and stationarity equations, boundary and continuity conditions and its differentiations, called sensitivity equations. In this work, this indirect approach for Switched OCP was extended for DAOCP with inequality constraints, with the objective to estimate the Events, along the control, state and adjoint variables. The developed approach for Switched OCP described by Xu e Antsaklis (2004) was implemented in a specific code using Maple 9.5, called EVENTS, with the objective to symbolically generate the equations based on the parameterization of Events. This code was incorporated in a interface named OpCol, that collect characterization tools of DAE systems and generation of the optimality conditions extended Pontryagin s Principle for PCOAD of different types. The characterization tools are the INDEX of Murata (1996) that symbolically identifies the index, the resolubility and the consistency of initial conditions and the ACIG of Cunha e Murata (1999) that implements the Gear s algorithm for the index reduction and the index 1 equivalent system generation. The OTIMA (GOMES, 2000; LOBATO, 2004) generates the Euler-Lagrange equations for DAOCP. These tools had been implemented initially in different versions of Maple and all had been update to 9.5 version using the Maplets package that allows the data entry through interactive windows with the user, demanding a little knowledge of the Maple syntax. The OpCol interface was tested for four cases and for each tool a example data bank with typical problems of literature was created to assist the user in its use. Moreover, the direct method implemented in DIRCOL code was extended for multi-phases formulation with estimates of Events and the indirect method with Events Parameterization and differential-algebraic approach implemented in a Matlab code had been used for the numerical solution of three cases: a switched OCP and 2 DAOCP of batch reactors where the control variable is the feed rate of the component B - the first one has parallel reactions and selectivity constraints with 3 phases of index 1, 3 and 1 and the second a safety constraint with 2 phases of index 2 and 1 respectively and had been described by Srinivasan et al. (2003). The methodology used by this authors was applied to attained analytical expressions for the control variable in each phase necessary in indirect method, composing the called Switching Functions, from the optimality conditions based in the Pontryagin s Principle - specifically from the stationarity condition and the active constraint identification that will allow the control variable determination - and of the physical analysis of the problem in order to discard not appropriate activations/deactivations sequences. The results obtained by indirect and direct methods are compared for the 3 cited problems, showing the viability as much of the multiphase formulation using the DIRCOL and also the satisfactory performance of the indirect method with estimates of Events, beyond the utility of the tools of characterization of EADs, of attainment of optimality conditions and parameterization of Events available in Opcol interface.
Keywords: Problemas de controle ótimo
Sistemas híbridos
Sistemas chaveados
Equações algébrico-diferenciais
DIRCOL
Optimal control problems
Differential-algebraic equations
Hybrid systems
Switched systems
Controle de processos químicos
metadata.dc.subject.cnpq: CNPQ::ENGENHARIAS::ENGENHARIA QUIMICA
metadata.dc.language: por
metadata.dc.publisher.country: BR
Publisher: Universidade Federal de Uberlândia
metadata.dc.publisher.initials: UFU
metadata.dc.publisher.department: Engenharias
metadata.dc.publisher.program: Programa de Pós-graduação em Engenharia Química
Citation: PFEIFER, Adriene Artiaga. Controle ótimo de sistemas algébrico-diferenciais com flutuação do índice diferencial. 2007. 126 f. Dissertação (Mestrado em Engenharias) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2007.
URI: https://repositorio.ufu.br/handle/123456789/15257
Issue Date: 7-Mar-2007
Appears in Collections:DISSERTAÇÃO - Engenharia Química

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