Publicação: Métodos numéricos não oscilatórios aplicados às leis de conservação
hiperbólicas unidimensionais
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
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Resumo
A solução de uma lei de conservação pode desenvolver descontinuidades do tipo choque
ou ondas de rarefação, mesmo que a condição inicial seja suave. Assim, é desejável o desenvolvimento
de esquemas numéricos capazes de reproduzir esses comportamentos. Além
de representar corretamente as descontinuidades, os esquemas possuem a tarefa de obter a
solução correta conhecida como solução de entropia. O objetivo dessa dissertação é o estudo
de métodos numéricos não-oscilatórios para aproximar soluções de leis de conservação
hiperbólicas escalares unidimensionais. Para alcançar tal objetivo é preciso estudar alguns
esquemas numéricos especiais, tais como esquemas upwind', esquemas TVD, esquemas conservativos
e esquemas monótonos. Para critério de comparação entre os métodos numéricos
será utilizada a solução clássica de equações conhecidas da literatura (Equação de Burgers e
Equação de Advecção). Para o cálculo das soluções analíticas será empregada a teoria envolvendo
as equações caracteríticas. A aproximação numérica da lei de conservação se divide em
duas etapas: a aproximação no espaço e a aproximação no tempo. Para a aproximação no
espaço, serão utilizados os esquemas ENO (Essentially Non-Oscillatory - essencialmente não
oscilatório) e WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory - essencialmente não oscilatório
ponderado); para a aproximação no tempo, será utilizado o método numérico Runge-Kutta
TVD (Total Variation Dimishing).
Abstract
The solution of a conservation law may develop discontinuities like shocks and rarefactions
waves, even if the initial condition is a smooth function. Then, numerical schemes should be
able to generate ecient approximations in order to reproduce the same behavior as the analytic
solution. Besides, these schemes have to capture the physically correct solution or entropy
solution. The goal of this master dissertation is to study non-oscillatory schemes applied to
one-dimensional scalar hyperbolic conservation laws. In order to reach the is objective, it is
necessary to understand some special methods, such as, upwind scheme, TVD schemes, conservative
schemes and monotone schemes. The eectiveness of the methods will be veried through
the comparison with the well-known classical solutions exhibited in literature: Advection Equation
and Burgers' Equation. The characteristic equations will be employed for getting analytic
solutions of conservation laws. We will derive numerical approximations for conservation laws
using ENO (Essentially Non-Oscillatory) and WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory)
schemes for space discretization, and Runge-Kutta TVD (Total Variation Dimishing) for time
discretization.
Palavras-chave
Análise numérica, Leis de conservação, Métodos numéricos não-oscilatorios, ENO, WENO, Runge-Kutta TVD, Conservation laws, Numerical methods non-oscillatory, Runge-
Kutta TVD
Citação
OLIVEIRA, Marta Helena de. Aplication of numerical methods essentially non oscilatory
conservation laws one dimensional. 2010. 130 f. Dissertação (Mestrado em Ciências Exatas e da Terra) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2010.