Publicação: Sobre elementos distinguidos em corpos finitos
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::ALGEBRA::ALGEBRA COMUTATIVA
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Resumo
Nesta tese mostramos alguns resultados sobre elementos primitivos, elementos normais e suas generalizações. A tese começa estudando a existência de elementos primitivos normais cuja imagem por uma função racional seja primitiva. O segundo resultado se inspira em trabalhos de Cohen que estuda elementos primitivos consecutivos. Na tese tratamos de progressões aritméticas, com razão dada, nas quais todos os elementos são primitivos e um deles também é normal. A seguir procuramos fórmulas explícitas para o número de elementos k-normais em extensões de corpos finitos. Em particular, encontramos uma fórmula que depende do número de soluções de certas equações diofantinas. Já para k=0,1,2,3 encontramos fórmulas combinatórias fáceis de calcular. Também estudamos a existência de elementos primitivos 2-normais e finalmente estudamos elementos r-primitivos k-normais de forma geral e aplicamos os resultados para o caso particular em que o corpo é de característica 11, r=3 e k=3.
Abstract
In this thesis, we show some results about primitive normal elements and their generalizations. The thesis begins by studying the existence of primitive normal elements whose image by a rational function is primitive. The second result draws on a work of Cohen which studies consecutive primitive elements. In the thesis, we deal with arithmetic progressions, with a given common difference, such that all elements are primitive and one of them is normal. Next, we look for explicit formulas for the number of $k$-normal elements in extensions of finite fields. In particular, we find a formula that depends on the number of solutions of certain Diophantine equations. For k=0,1,2,3 we find combinatorial formulas that are easy to compute. We also study the existence of 2-normal primitive elements and finally we study r-primitive k-normal elements in general, and apply these results to the particular case where the field has characteristic 11, r=3 and k=3.
Palavras-chave
corpos finitos, finite fields, elementos primitivos, primitive elements, elementos normais, normal elements, elementos r-primitivos, r-primitive elements, elementos k-normais, k-normal elements
Citação
NEUMANN, Victor Gonzalo Lopez. Sobre elementos distinguidos em corpos finitos. 2022. 122 f. Tese (Promoção para classe E - Professor Titular) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2022. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.te.2022.5035