Códigos cartesianos afins e seus duais

Abstract

In this work, we discuss concepts and explore results on Error-Correcting Codes, focusing on affine codes and their dual codes. The study of error-correcting codes is a fundamental area of Information Theory and plays a crucial role in detecting and correcting errors in data transmission, being widely used in digital communications and data storage. To support our study, we conduct a detailed review of fundamental concepts essential for understanding the presented results. Among these, we highlight Gröbner bases of an ideal, Buchberger’s criterion for a subset of multivariate polynomials, and Buchberger’s algorithm, which is a central tool in the algebraic manipulation of polynomials. Additionally, we discuss the concept of footprint, the notion of affine variety, and fundamental properties of finite fields, which play an important role in the construction and analysis of the considered codes. Next, we introduce the basic concepts of Coding Theory, identify its key parameters, and discuss its relevance in the context of information encoding. Subsequently, we present the construction of affine codes through the evaluation function, explore techniques for identifying a basis for these codes using the footprint, and calculate their dimension. Finally, we focus on characterizing the dual of an affine code, using the residue function to determine its structural properties and identify a corresponding basis. This study provides a better understanding of the relationship between a code and its dual and offers important tools for analyzing its applications. Throughout the text, we have included several practical examples to illustrate and facilitate the understanding of the presented concepts. We believe that combining theoretical foundations with concrete examples significantly contributes to content assimilation, making the work more accessible and didactic for the reader.

Dans ce travail, nous abordons des concepts et explorons des résultats sur les codes correcteurs d’erreurs, en nous concentrant sur les codes affines et leurs codes duaux. L’étude des codes correcteurs d’erreurs est un domaine fondamental de la théorie de l’information et joue un rôle crucial dans la détection et la correction des erreurs lors de la transmission des données, étant largement utilisée dans les communications numériques et le stockage de l’information. Pour soutenir notre étude, nous réalisons une revue détaillée des concepts fondamentaux essentiels à la compréhension des résultats présentés. Parmi eux, nous mettons en avant les bases de Gröbner d’un idéal, le critère de Buchberger pour un sous-ensemble de polynômes à plusieurs variables et l’algorithme de Buchberger, qui est un outil central dans la manipulation algébrique des polynômes. De plus, nous abordons le concept d’empreinte, la notion de variété affine et les propriétés fondamentales des corps finis, qui jouent un rôle important dans la construction et l’analyse des codes étudiés. Ensuite, nous introduisons les concepts de base de la théorie des codes, identifions leurs paramètres fondamentaux et discutons de leur importance dans le contexte de l’encodage de l’information. Par la suite, nous présentons la construction des codes affines à l’aide de la fonction d’évaluation, explorons des techniques pour identifier une base pour ces codes en utilisant l’empreinte et calculons leur dimension. Enfin, nous nous concentrons sur la caractérisation du dual d’un code affine, en utilisant la fonction résidu pour déterminer ses propriétés structurelles et identifier une base correspondante. Cette étude permet une meilleure compréhension de la relation entre un code et son dual et fournit des outils importants pour analyser leurs applications. Tout au long du texte, nous avons inclus plusieurs exemples pratiques pour illustrer et faciliter la compréhension des concepts présentés. Nous pensons que la combinaison des fondements théoriques et des exemples concrets contribue de manière significative à l’assimilation du contenu, rendant ce travail plus accessible et didactique pour le lecteur.