Publicação: Existência de elementos primitivos k-normais em corpos finitos
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::ALGEBRA::GEOMETRIA ALGEBRICA
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Resumo
Esta dissertação investiga as condições de existência de elementos que sejam simultaneamente primitivos e k-normais em extensões de corpos finitos. O estudo da existência de tais elementos é um problema central na Álgebra moderna, com implicações diretas na eficiência de sistemas criptográficos e na construção de códigos corretores de erros. Para abordar este problema, utilizamos uma fundamentação teórica que combina métodos combinatórios e analíticos. As principais ferramentas empregadas são a Função de Euler (ϕ) e a Função de Möbius (µ). No âmbito da Álgebra Linear sobre corpos finitos, exploramos as propriedades dos polinômios linearizados, que permitem caracterizar a independência linear dos conjugados de um elemento sob a ação dos automorfismos de Frobenius. Para a demonstração dos resultados principais, utilizamos ferramentas como caracteres aditivos e multiplicativos, um tipo particular de homomorfismos, integrando-os ao o estudo das somas de Gauss, que fornecem as estimativas para somas exponenciais necessárias para garantir que a quantidade de elementos desejados é estritamente positiva.
Abstract
This dissertation investigates conditions for the existence of elements that are simultaneously primitive and k normal in finite field extensions. The study of the existence of such elements is a central problem in modern Algebra, with direct implications on the efficiency of cryptographic systems and the construction of error-correcting codes. To approach this problem, we employ a theoretical framework that combines combinatorial and analytical methods. The primary tools utilized are the Euler totient function (ϕ) and the Möbius function (µ). Within the scope of Linear Algebra over finite fields, we explore the properties of linearized polynomials, which
allow the characterization of the linear independence of an element’s conjugates under the action of Frobenius automorphisms. To prove the main results, we use tools such as additive and multiplicative characters, a particular type of homomorphism, integrating them with the study of Gaussian sums, which provide the estimates for exponential sums needed to guarantee that the number of desired elements is strictly positive.
Palavras-chave
corpos finitos, finite fields, elementos primitivos, primitive elements, elementos normais, normal elements, elementos k-normais, k-normal elements
Citação
COSTA, Marcos Henrique Franco. Existência de elementos primitivos k-normais em corpos finitos. 2026. 72 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2026. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2026.210.