Publicação: A inversão geométrica
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
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O tema estudado nessa dissertação é a inversão geométrica, uma importante transformação que permite converter problemas aparentemente complicados em problemas análogos, mas com soluções mais simples. Por exemplo, permite demonstrar de forma simples e elegante o Teorema de Ptolomeu, a fórmula de Euler, o Teorema de Feuerbach, todas essas aplicações serão apresentadas no Capítulo 3. O texto estrutura-se
em três capítulos. O Capítulo 1 é destinado aos conceitos preliminares, apresenta a caracterização da posição relativa de duas circunferências no plano, o conceito e a construção com régua e compasso das circunferências ex-inscritas aos lados de um triângulo, as construções geométricas das retas tangentes comuns a duas circunferências,
bem como os conceitos de potência de um ponto em relação a uma circunferência e de pontos conjugados harmônicos em relação a dois pontos dados. O Capítulo 2 é destinado a definição da inversão geométrica e ao amplo estudo de suas propriedades, apresenta a caracterização do que ocorre com retas e circunferências quando submetidas a uma inversão, estuda a propriedade involutiva e a preservação de ângulos
dessa transformação, apresenta a equivalência entre pontos inversos e conjugados harmônicos, bem como a caracterização de que uma circunferência é invariante pela inversão se e somente se é ortogonal à circunferência de inversão. O capítulo 3 é destinado às aplicações da Inversão geométrica citadas anteriormente e apresenta ainda,
a construção com régua e compasso dos pontos de intersecção de uma reta com uma hipérbole e a solução de um problema de construção de triângulo. Para finalizar esperamos que este texto rico em ilustrações, fomentado com muitos exemplos e aplicações, embasado em sólida fundamentação teórica, contribua para um melhor entendimento
dos aspectos matemáticos teóricos e geométricos das inversões em circunferências e seja uma referência para todos os estudantes que pretendam aprofundar seus estudos nesse tema.
Abstract
The subject studied in this dissertation is the geometric inversion, an important transformation
that allows converting apparently complicated problems into analogous problems,
but with simpler solutions. For example, it allows demonstrating in a simple and
elegant way Ptolemy’s Theorem, Euler’s formula, Feuerbach’s Theorem, all these applications
will be presented in Chapter 3. The text is structured in three chapters. Chapter
1 is devoted to preliminary concepts, it presents the characterization of the relative
position of two circles in the plane, the concept and the construction with ruler and
compass of the circles ex-inscribed to the sides of a triangle, the geometric constructions
of the tangent lines common to the two circles, as well as the concepts of power
of a point in relation to a circle and harmonic conjugate points in relation to two given
points. Chapter 2 is devoted to the definition of geometric inversion and the extensive
study of its properties, presents the characterization of what happens to straight
lines and circles when subjected to an inversion, studies the involutive property and
the preservation of angles of this transformation, presents the equivalence between
inverse points and harmonic conjugates, as well as the characterization that a circle is
invariant by inversion if and only if it is orthogonal to the inversion circle. Chapter 3 is
dedicated to the previously mentioned applications of geometric inversion and also presents
the construction with ruler and compass of the intersection points of a straight
line with a hyperbola and the solution of a triangle construction problem. Finally, we
hope that this text, rich in illustrations, provided with many examples and applications,
based on a solid theoretical foundation, will contribute to a better understanding of the
mathematical, theoretical and geometric aspects of inversions in circles and will be a
reference for all students who intend to deepen their knowledge. studies on this topic.
Palavras-chave
Teorema de Feuerbach, Problema de Apolônio, Inversão Geométrica, Feuerbach’s Theorem, Apolônio’s Problem, Geometric Inversion
Citação
COSTA, Júlio César. A inversão geométrica. 2023. 100 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2023. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2023.469.
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