Publicação: O espaço de Hausdorff e a dimensão fractal: estudo e abordagens no Ensino Fundamental
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA
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Resumo
A Geometria Fractal consiste no estudo de formas estabelecidas por processos recursivos
simples ou complexos que tomam alta complexidade para número suficientemente grande de
iterações. Assim denominada no século XX pelo matemático Benoit Mandelbrot, apresenta
propriedades peculiares, sendo a dimensão fractal sua principal característica. No caso dos
fractais, sua dimensão assume valores não inteiros, diferente das dimensões euclidiana e
topológica. Isso se deve pela irregularidade ocupada por um fractal no espaço métrico que
está inserido. Para calcular a dimensão fractal lançamos mão de conceitos de topologia
para caracterizar um espaço métrico completo e verificar sua validade para o Espaço de
Hausdorff, no qual podemos calcular a dimensão de Hausdorff e utilizar o método Box-Counting. Por fim, buscamos apresentar de forma intuitiva tal conceito para alunos dos anos
finais do Ensino Fundamental através de sugestão de atividades que relacionem os fractais
`a habilidades de matemática de seu ciclo de estudo, estimulando atividades de medidas,
construções com uso de material concreto, investigações e generalizações algébricas.
Abstract
Fractal geometry consists in the study of shapes established by simple or complex re cursive processes that take on high complexity for a sufficiently large number of iterations.
So named in the 20th century by mathematician Benoit Mandelbrot, it presents peculiar
properties, being the fractal dimension its main characteristic. In the case of fractals, their
dimension assumes non-integer values, unlike the Euclidean and topological dimensions.
This is due to the irregularity occupied by a fractal in the metric space where it is inserted.
To calculate the fractal dimension, we use concepts of topology to characterize a complete
metric space and verify its validity for the Hausdorff Space, in which we can calculate
the Hausdorff dimension and use the Box-Counting method. Finally, we try to intuitively
present this concept to students in the final years of elementary school through suggested
activities that relate fractals to the mathematical skills of their study cycle, stimulating
concrete measurement activities, constructions using concrete materials, investigations and
algebraic generalizations.
Palavras-chave
Fractais, Geometria fractal, Distância de Hausdorff, Dimensão de Hausdorff, Método Box-Counting, Fractals, Fractal geometry, Hausdorff distance, Hausdorff dimension, Box-Counting method, Matemática
Citação
ELEUTÉRIO, Aline Pereira. O espaço de Hausdorff e a dimensão fractal: estudo e abordagens no Ensino Fundamental. 2021. 105 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2021. DOI https://doi.org/10.14393/ufu.di.2021.599.
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