Publicação: Sobre as singularidades de contatos de superfícies genéricas em R^3
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::GEOMETRIA E TOPOLOGIA::TEORIA DAS SINGULARIDADES E TEORIA DAS CATASTROFES
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Resumo
Neste trabalho, investigamos a geometria diferencial de uma superfície suave M imersa em R^3 por meio do estudo do seu contato com planos, esferas e retas, sob a perspectiva da teoria de singularidades. Cada tipo de contato é descrito pelas singularidades de três famílias de funções associadas: a família de funções altura, a família de funções distância ao quadrado e a família de projeções ortogonais, respectivamente. Mostramos que as singularidades do tipo R- (ou A-) dessas famílias determinam pontos e curvas especiais na superfície, denominados características robustas. Apresentamos a caracterização e a descrição da curva parabólica, da curva flecnodal, da curva ridge e da cúspide de Gauss. Em particular, demonstramos que a curva parabólica e a curva flecnodal possuem contato de ordem dois na cúspide de Gauss. Por fim, ao analisar o contorno aparente da superfície, estabelecemos uma prova alternativa do Teorema de Koenderink.
Abstract
In this work, we investigate the differential geometry of a smooth surface M immersed in R^3 through the study of its contact with planes, spheres, and lines from the singularity theory viewpoint. Each type of contact is described by the singularities of three associated families of functions: the family of height functions, the family of distance squared functions, and the family of orthogonal projections, respectively. We show that R- (or A-) singularities of these families determine special points and curves on the surface, called robust features. We present the characterization and description of the parabolic curve, the flecnodal curve, the ridge curve, and the cusp of Gauss. In particular, we show that the parabolic curve and the flecnodal curve have second-order contact at the cusp of Gauss. Finally, by analyzing the apparent contour of the surface, we establish an alternative proof of Koenderink’s Theorem.
Palavras-chave
Contato, Contact, Singularidades, Singularity, Características Robustas, Robust Features, Contorno Aparente, Apparent Contour, Teorema de Koenderink, Koenderink’s Theorem
Citação
ROCHA, Matheus Felipe Calu. Sobre as singularidades de contatos de superfícies genéricas em R^3. 2026. 117 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2026. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2026.246.
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