Publicação: Nuclearidade de operadores integrais positivos
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
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Resumo
O principal objetivo deste trabalho é apresentar condições para que um operador integral positivo K : L2(X,cr) ^ L2(X,cr), dado por K(f)(x) = Jx f (y)k(x,y)da(y), para cada f G L2(X, cr), seja núcleo (ou classe traço), isto é, seja tal que X)/l|K(f )|| < to, para alguma base ortonormal B de L2 (X, a). Primeiramente será tratado o caso em que X é um conjunto Lebesgue mensurável em Mn e analisada a nuclearidade de operadores por meio da aplicação do Teorema de Mercer para o núcleo k. Quando não for possível aplicar esse teorema em k serão feitas aproximações por meio de operadores com núcleos que satisfazem tal teorema e majorados pela função máximo de Hardy-Littlewood. Depois disso, a nuclearidade será analisada usando limites em normas adequadas. Esse processo pode ser adaptado para estudar a nuclearidade de operadores cujos núcleos não são positivos definidos, mas podem ser escritos como combinação de outros núcleos que são. O trabalho termina com a análise da nuclearidade no caso em que X é um conjunto de medida <r- finita, não necessariamente em Mn, que possui uma estrutura de filtro adequada. Para isso será usada uma adaptação dos núcleos aproximados e auxiliares, sem o uso do Teorema de Mercer, através de martingais, majorados por meio da função máximo para martingais.
Abstract
This work is to presents conditions to ensure that a positive integral operator K : L2(X,a) ^ L2(X, a), given by K(f)(x) = Jx f (y)k(x,y)da(y), for all f G L2(X,ff), is nuclear, that is, to ensure that X]/gB l|K(f)|| < to, when R is an orthonormal bases to L2 (A, a). We ^^^ze the case in which X is a Lebesgue mensurable subset of Mn,
by using the Mercer’s Theorem. When we can’t use this theorem, we use approximations methods by operators whose kernels satisfies such theorem, by using Hardy-Littlewood’s maximal function. In that case, the nuclearity of K is related to limits in appropriate norms. This procedure may be used to integral operators whose kernels are linear combinations of positive definite kernels. To finish this work, looking to the case where X is a cr-finite measure space, not necessarily in Mn, and endowed with a special filter, a similar method to approximate the auxiliary operators and kernels is used, without the use of Mercer’s Theorem and using martingals and maximal function instead.
Palavras-chave
Matemática, Hilbert, Espaço de, Operadores integrais, Traço, Nuclearidade, Hilbert spaces, Integral operators, Rrace, Nuclearity
Citação
CARVALHO, Suélen Almeida. Nuclearidade de operadores integrais positivos. 2017. 73 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2017. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2017.240