Publicação: Estudos das funções entrópicas
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::MATEMATICA APLICADA::FISICA MATEMATICA, CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::FISICA::FISICA GERAL::FISICA ESTATISTICA E TERMODINAMICA
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Resumo
Este trabalho realiza uma caracterização matemática do conjunto B das funções de Boltzmann, formado pelas funções reais estritamente crescentes que satisfazem a aditividade multiplicativa f (xy) = f (x) + f (y). O estudo investiga as propriedades analíticas e topológicas desse conjunto e estabelece uma conexão formal com a formulação informacional da entropia de Shannon. Utilizando métodos de análise real e teoria da probabilidade, demonstra-se que as funções em B são analíticas e de classe C ∞ , e que o conjunto é convexo e conexo, embora não seja aberto, fechado ou compacto na topologia da convergência uniforme em compactos. A caracterização fundamental revela que o domínio de B é o intervalo (0, ∞) e que B = {k ln x | k > 0}. A partir dessa base, prova-se que a entropia de Shannon, restrita a variáveis aleatórias independentes, herda a estrutura matemática de B por meio de uma correspondência biunívoca. Conclui-se que a forma logarítmica da entropia é determinada unicamente por sua monotonicidade e aditividade, e que a formulação de Shannon generaliza a de Boltzmann-Gibbs ao acomodar sistemas com correlações arbitrárias, unificando os fundamentos da termodinâmica estatística e da teoria da informação.
Abstract
This work conducts a mathematical characterization of the set B of Boltzmann functions, formed by strictly increasing real functions that satisfy the multiplicative additivity property f (xy) = f (x) + f (y). The study investigates the analytical and topological properties of this set and establishes a formal connection with the informational formulation of Shannon’s entropy. Using methods from real analysis and probability theory, it is demonstrated that the functions in B are analytic and of class C ∞ , and that the set is convex and connected, although it is not open, closed, or compact in the topology of uniform convergence on compact sets. The fundamental characterization reveals that the domain of B is the interval (0, ∞) and that B = {k ln x | k > 0}. From this basis, it is proven that Shannon’s entropy, when restricted to independent random variables, inherits the mathematical structure of B through a one-to-one correspondence. It is concluded that the logarithmic form of entropy is uniquely determined by its monotonicity and additivity, and that Shannon’s formulation generalizes that of Boltzmann-Gibbs by accommodating systems with arbitrary correlations, unifying the foundations of statistical thermodynamics and information theory.
Palavras-chave
Funções de Boltzmann, Boltzmann functions, Entropia de Shannon, Shannon entropy, Caracterização matemática da entropia, Mathematical characterization, Generalização entrópica, Entropic generalization
Citação
KURASHIMA, Keoma H. Estudos das funções entrópicas. 2025. 63 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física) – Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2026.
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