Publicação: Técnicas de otimização evolutiva aplicadas à solução de grandes sistemas
lineares
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CNPQ::ENGENHARIAS::ENGENHARIA MECANICA
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Resumo
Muitos campos da engenharia e outras ciências aplicadas exigem a utilização da solução de
sistemas lineares algébricos. Dependendo do modelo matemático usado para representar o
fenômeno, os sistemas lineares são de elevada dimensão. Tradicionalmente, os grandes
sistemas lineares são resolvidos através de métodos iterativos. A convergência destes métodos
depende dos autovalores da matriz dos coeficientes. Assim, quando a matriz dos coeficientes
perde uma das seguintes características como ser simétrica ou positiva definida, os métodos
iterativos (estacionários e não estacionários) perdem a eficácia. Existem vários métodos para
resolver os sistemas lineares. O objetivo é encontrar o método mais eficaz para um
determinado problema. Infelizmente, um método que funciona bem para um tipo de problema
pode não funcionar tão bem para outro. Na verdade, ele pode nem mesmo funcionar. Assim,
várias pesquisas ainda estão sendo desenvolvidas e aprimoradas nesta área de conhecimento.
O objetivo deste trabalho é propor a aplicação de algumas técnicas na solução de grandes
sistemas lineares. A este propósito, são testados métodos iterativos não-estacionários clássicos
(Gradientes Conjugados, Resíduos Mínimos, Gradientes BiConjugados) e comparados com os
dois métodos de otimização evolutiva, Evolução Diferencial e Algoritmos Genéticos. Nesta
pesquisa são resolvidos os problemas como a equação de Laplace bi-dimensional e
identificação indireta de forças dinâmicas. A solução analítica é comparada com as soluções
numéricas calculadas usando os métodos mencionados. Os resultados obtidos são
apresentados, analisando os parâmetros mais importantes e sua influência sobre a
convergência e eficiência dos métodos testados.
Abstract
Many fields of engineering and other applied sciences demand the use of the solution of
algebraic linear systems. Depending on the mathematical model used to represent the
phenomenon, the linear systems will have high dimensions. Traditionally, large linear systems
are resolved by using iterative methods. The convergence of these methods depends on the
eigenvalues of the coefficients matrix. Thus, when the coefficients matrix loses one of the
following characteristics as being symmetric or positive definite, the iterative methods
(stationary and nonstationary) lose efficiency. Many methods exist for solving the linear
systems. The aim is to find the most effective method for a particular problem. However, a
method that works well for one type of problem might not work so well for others. Indeed, it
may not even work. Thus, several researches are still being developed and improved in this
area of knowledge. The aim of this works is to propose the application of some techniques in
solving large linear systems. On this purpose, classic no stationary iterative methods are
tested (Conjugate Gradients, Minimal Residual, Bi-Conjugate Gradients, Generalized
Minimal Residual) and compared with two evolutionary optimization methods, Differential
Evolution and Genetic Algorithms. In this research, problems like bi-dimensional Laplace
equation and identification indirect of dynamical forces are solved. The analytical solution is
compared with the numerical solutions calculated by using the mentioned methods. Results
are presented, analyzing the most important parameters and their influence on the
convergence and efficiency of the tested methods.
Palavras-chave
Sistemas lineares, Métodos de otimização evolutiva, Identificação de forças, Linear systems, Evolutionary optimization methods, Identification of forces, Dinâmica, Equações
lineares, Otimização, Identificação de sistemas
Citação
PURCINA, Lúcio Aurélio. Evolutionary Optimization Techniques Applied to Solution of Large
Linear Systems. 2010. 162 f. Dissertação (Mestrado em Engenharias) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2010.