Publicação: Existência e Unicidade de Medidas de Equilíbrio para o Fluxo Geométrico de Lorenz
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA
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Resumo
Esta tese aborda o problema da unicidade de medidas de equilíbrio para o fluxo geométrico de Lorenz no âmbito do formalismo termodinâmico. O sistema é analisado através de sua representação como um fluxo suspensão sobre uma aplicação de Poincaré bidimensional P(x,y) = (L(x), g(x,y)), que se caracteriza como uma extensão parcialmente hiperbólica de uma aplicação de Lorenz unidimensional L. Embora resultados anteriores de Bronzi e Oler [BO18] tenham estabelecido a unicidade genérica para o caso unidimensional, a transição para dimensões superiores e para o tempo contínuo permanecia um desafio técnico devido à contração transversal e à singularidade do fluxo.
O resultado principal desta tese demonstra que, para o espaço de potenciais Hölder por partes, existe um subconjunto aberto e denso H para o qual o fluxo admite uma única medida de equilíbrio. A prova fundamenta-se em uma abordagem hierárquica que se inicia com a descrição geométrica do atrator e a formalização das correspondências dimensionais (Capítulo 1). Prosseguimos com a demonstração da unicidade genérica para a aplicação bidimensional na base (Capítulo 3) e o desenvolvimento de um operador deslocado J que, por meio das fórmulas de Abramov, permite transferir as propriedades de abertura e densidade da base para o fluxo suspenso (Capítulo 4). Este trabalho unifica e estende resultados da literatura, consolidando a genericidade da unicidade em sistemas singular-hiperbólicos.
Abstract
This thesis addresses the problem of uniqueness of equilibrium states for the geometric Lorenz flow within the framework of thermodynamic formalism. The system is analyzed through its representation as a suspension flow over a two-dimensional Poincaré map P(x,y) = (L(x), g(x,y)), which is a partially hyperbolic extension of a one-dimensional Lorenz-like map L. While previous results by Bronzi and Oler [BO18] established generic uniqueness for the one-dimensional case, the transition to higher dimensions and continuous time remained a technical challenge due to transverse contraction and the flow's singularity.
Our main result proves that, for the space of piecewise Hölder potentials, there exists an open and dense subset H for which the flow admits a unique equilibrium state. The proof is based on a hierarchical approach that begins with the geometric description of the attractor and the formalization of dimensional correspondences (Chapter 1). We then proceed to demonstrate generic uniqueness for the two-dimensional base map (Chapter 3) and the development of a shifted operator J which, through Abramov's formulas, allows for the transfer of openness and density properties from the base to the suspension flow (Chapter 4). This work unifies and extends existing literature, consolidating the genericity of uniqueness in singular-hyperbolic systems.
Palavras-chave
Fluxo de Lorenz, Medidas de Equilíbrio, Unicidade Genérica, Suspensões, Formalismo Termodinâmico, Lorenz Flow, Equilibrium States, Generic Uniqueness, Suspensions Flows, Thermodynamic Formalism
Citação
OLER, Juliano Gonçalves. Existência e Unicidade de Medidas de Equilíbrio para o Fluxo Geométrico de Lorenz. 2026. 76 f. Tese (Promoção à Classe E Professor Titular - IME) - Universidade Federal de Uberlândia, 2026. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.me.2026.7.