Publicação: O grafo funcional de uma família de polinômios sobre uma extensão quadrática de um corpo finito
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::ALGEBRA::GEOMETRIA ALGEBRICA
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Resumo
Seja $X$ um conjunto finito e $f: X \rightarrow X$ uma função arbitraria. A iteração de $f$ sobre $X$ nos dá um sistema dinâmico que pode ser representado como um grafo. De fato, o grafo funcional de $f$ é o grafo dirigido $\mathscr{G}(f)=(\mathcal{V}, \mathcal{E})$, onde $\mathcal{V}=X$ e $\mathcal{E}=\{\langle x, f(x)\rangle \mid x \in X\}$. O sistema dinâmico obtido tem aplicações em muitas áreas tais como a criptografia, as comunicações e física.
Seja $\mathbb{F}_q$ um corpo finito com $q$ elementos de característica ímpar. Neste trabalho, descreveremos completamente a dinâmica da função $f(X)=c\left(X^{q+1}+a X^2\right)$ sobre o corpo finito $\mathbb{F}_{q^2}$, para $a \in\{ \pm 1\}$ e $c \in \mathbb{F}_q^*$. Também, daremos alguns resultados parciais para $a \in \mathbb{F}_q \backslash\{0,1,-1\}$.
Abstract
Let $X$ be a finite set and $f: X \rightarrow X$ an arbitrary function. The iteration of $f$ over $X$ yields a dynamical system that can be represented as a graph. In fact, the functional graph of $f$ is the directed graph $\mathscr{G}(f)=(\mathcal{V}, \mathcal{E})$, where $\mathcal{V}=X$ and $\mathcal{E}=\{\langle x, f(x)\rangle \mid x \in X\}$. The obtained dynamical system has applications in many areas such as cryptography, communications and physics.
Let $\mathbb{F}_q$ be a finite field with $q$ elements of odd characteristic. In this work, we will fully describe the dynamics of the function $f(X)=c\left(X^{q+1} \pm a X^2\right)$ over the finite field $\mathbb{F}_{q^2}$, for $a \in\{ \pm 1\}$ and $c \in \mathbb{F}_q^*$. We will also provide partial results for $a \in \mathbb{F}_q^* \backslash\{ \pm 1\}$.
Palavras-chave
Grafo funcional, Funções iterativas, Dinâmica de funções, Corpos Finitos, Extensões quadráticas, Pontos periódicos, Functional graph, Iterated functions, Function dynamics, Finite fields, Quadratic extensions, Periodic points
Citação
LUCIANO, Katherine Angie Molina.O grafo funcional de uma família de polinômios
sobre uma extensão quadrática de um corpo finito. 2025. 66 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2026. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2026.5050.
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