Publicação: Fatoração de expressões polinomiais e decomposição em frações parciais
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CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
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Resumo
Esta dissertação investiga a fatoração de polinômios e a decomposição em frações parciais no contexto
da Educação Básica e Superior, articulando fundamentos da Álgebra com propostas voltadas
à prática docente. O estudo parte da ampliação dos conjuntos numéricos, destacando a introdução
dos números complexos como extensão natural de R, preservando suas propriedades algébricas e
ampliando o conjunto no qual as soluções passam a existir.
Mostra-se que a resolução da equação do segundo grau ax^2 + bx + c = 0, com coeficientes reais,
mantém a mesma estrutura expressa de solução de equações polinomiais quadráticas, sendo a
diferença essencial o conjunto numérico no qual se interpreta o discriminante. Em C, independentemente
do sinal de Δ = b^2 − 4ac, sempre existe a raiz quadrada de Δ, garantindo a existência de
soluções. Ressalta-se ainda que as propriedades algébricas válidas em R, como produtos notáveis e
completamento de quadrados, permanecem válidas em C, o que contribui para esclarecer dificuldades
frequentes tanto no processo de fatoração quanto na resolução de equações polinomiais.
São apresentados métodos clássicos, como a Divisão Euclidiana, o algoritmo de Briot–Ruffini e o
Teorema das Raízes Racionais, enfatizando-se que a fatoração de um polinômio depende do anel de
coeficientes. Discute-se, por exemplo, o caso de x^2 +1 em R[x] e C[x], evidenciando que, em C[x],
todo polinômio admite fatoração em fatores lineares, conforme o Teorema Fundamental da Álgebra.
Tal fato simplifica estruturalmente a decomposição em frações parciais de funções racionais com
coeficientes reais quando analisadas no contexto complexo.
Como produto educacional, apresenta-se um Caderno de Atividades Comentadas, no qual essas observações
estruturais são exploradas didaticamente por meio de exemplos e propostas de atividades.
O material destina-se a estudantes do Ensino Médio, dos primeiros semestres da graduação e a professores
de Matemática, contribuindo para uma compreensão mais estruturada da Álgebra e para sua
articulação com o Cálculo.
Abstract
This dissertation investigates the factorization of polynomials and the decomposition into partial fractions
within the context of Basic and Higher Education, articulating algebraic foundations with proposals
aimed at teaching practice. The study begins with the extension of number systems, emphasizing
the introduction of complex numbers as a natural extension of R, preserving its algebraic properties
while enlarging the set in which solutions exist.
It is shown that the solution of the quadratic equation ax^2+bx+c = 0, with real coefficients, maintains
the same structure expressed by Bhaskara’s formula, the essential difference lying in the numerical
set in which the discriminant is interpreted. In C, regardless of the sign of Δ = b^2 − 4ac, the square
root of Δ always exists, ensuring the existence of solutions. It is further emphasized that algebraic
properties valid in R, such as special products and completing the square, remain valid in C, helping
to clarify frequent difficulties both in the factorization process and in solving polynomial equations.
Classical methods are presented, including Euclidean Division for polynomials, the Briot-Ruffini algorithm,
and the Rational Root Theorem, highlighting that the factorization of a polynomial depends on
the coefficient ring. The case of x^2 + 1 in R[x] and C[x] is discussed, showing that in C[x] every
polynomial can be factored into linear factors, according to the Fundamental Theorem of Algebra. This
fact structurally simplifies the partial fraction decomposition of rational functions with real coefficients
when analyzed in the complex setting.
As an educational product, a Workbook of Commented Activities is presented, in which these structural
observations are explored didactically through examples and proposed activities. The material is
intended for high school students, early undergraduate students, and mathematics teachers, contributing
to a more structured understanding of Algebra and its articulation with Calculus.
Palavras-chave
Números Complexos, Complex Numbers, Produtos Notáveis, Special Products, Polinômios, Polynomials, Fatoração, Factorization, Frações Parciais, Partial Fractions, Ensino de Matemática, Mathematics Education
Citação
MORALES, Elisson dos Santos. Fatoração de expressões polinomiais e decomposição em frações parciais. 2026. 128 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2026. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2026.205.
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